Hinweis: Diese Seite ist Teil eines vorläufigen Skripts zur Vorlesung Strömungsakustik an der TU-Berlin. Zur aktuellen Version des Skripts gelangt man über die Hauptseite.


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\renewcommand{\Im}{\mathfrak{Im}}
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\begin{document}

\sloppy

\noindent%
{\large \bf Fourieranalyse}

\vspace{0.25 cm}

\begin{multicols}{2}

{\it Fourierreihe}

Nach dem Satz von Fourier läßt sich eine
periodische Zeitfunktion $s(t)$ mit der Periodendauer
$\tau = 2 \pi/\omega_0$ als Summe von
Sinus- und Cosinusschwingungen mit den
Kreisfrequenzen $\omega_0, 2 \omega_0, 3 \omega_0, \ldots$
darstellen:
%
\begin{equation}
s(t) = A_0 + \sum \limits_{n=1}^{\infty}
\big[
S_n \sin (n \omega_0 t) +
C_n \cos (n \omega_0 t)
\big]
\end{equation}
%
Voraussetzung ist, daß $s(t)$ höchstens endlich viele Sprungstellen
endlicher Höhe und endlich viele Maxima und Minima besitzt.
Die Koeffizienten sind durch die folgenden Integrale bestimmt:
%
\renewcommand{\arraystretch}{3.0}
%\begin{equation}
%\begin{array}{r@{\;}l@{\qquad}l}
\begin{eqnarray}
A_0 &=& \ff{1}{\tau} \int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2}
s(t) dt\\
S_n &=& \ff{2}{\tau} \int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2}
s(t) \sin (n \omega_0 t) dt\\
C_n &=& \ff{2}{\tau} \int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2}
s(t) \cos (n \omega_0 t) dt
%\end{array}
%\end{equation}
\end{eqnarray}
%
Die Größe $A_0$ ist der arithmetische Mittelwert von $s(t)$
während einer Periode.
Die Darstellung der Zeitfunktion $s(t)$ durch eine
trigonometrische Reihe nach Gleichung (1) bezeichnet man
als Fourierreihe oder Fourierentwicklung.
Die Größen $S_n$ und $C_n$ werden Fourierkoeffizienten
genannt.
Die einzelnen Summanden heißen Fourierkomponenten.

\vspace{0.5cm}
{\it Komplexe Darstellung}

Zwischen den trigonometrischen Funktionen und
der Exponentialfunktion gilt der
Zusammenhang
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\;}l}
\sin z &= \ff{e^{iz} - e^{-iz}}{2 i} \;,\\
\cos z &= \ff{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\;.\\
\end{array}
\end{equation}
%
Daraus folgt für die einzelnen Komponenten
der Fourierreihe
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\;}l}
S_n \sin(n \omega_0 t) &= \ff{S_n}{2i} 
\big[ e^{i n \omega_0 t} - e^{-i n \omega_0 t} \big] \; ,\\
C_n \cos(n \omega_0 t) &= \ff{C_n}{2} 
\big[ e^{i n \omega_0 t} + e^{-i n \omega_0 t} \big] \; .\\
\end{array}
\end{equation}
%
Faßt man den Sinus- und den Cosinus-Term zusammen ergibt sich
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\;}l}
& S_n \sin(n \omega_0 t) + C_n \cos(n \omega_0 t)\\
&\qquad = A_n e^{i n \omega_0 t} + A_{-n} e^{-i n \omega_0 t}\\
\end{array}
\end{equation}
%
mit den komplexen Koeffizienten
%
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}
\begin{equation}
\begin{array}{r@{\;}l}
A_n &= \ff{1}{2} \big[ C_n - i S_n \big]\\
A_{-n} &= \ff{1}{2} \big[ C_n + i S_n \big] = A_n^\ast\\
\end{array}
\end{equation}
%
Das bedeutet, daß jede reelle Fourierkomponente durch
ein Paar zueinander konjugiert komplexer Schwingungsfunktionen
dargestellt werden kann.
Damit kann die komplexe Form der Fourierreihe
angegeben werden:
%
\begin{equation}
s(t) = \sum \limits_{n = -\infty}^{\infty}
A_n e^{i n \omega_0 t}
\end{equation}
%
Der Koeffizient $A_0$ ist wie in (2) definiert.
Die Übrigen Koeffizienten sind nach (8)
gegeben und können analog zu (3) und (4) durch das Integral
%
\begin{equation}
A_n = \ff{1}{\tau} \int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2}
s(t) e^{-i n \omega_0 t}, \qquad n > 0
\end{equation}
%
bestimmt werden.
Die $A_{-n}$ sind durch die konjugiert komplexen Werte der $A_n$
gegeben.
%\newpage

\vspace{0.5cm}
{\it Fourierintegral}

Eine periodische Zeitfunktion $s(t)$ läßt sich nach (1)
als Überlagerung von harmonischen Schwingungen
mit diskreten Frequenzen $\omega_0, 2\omega_0, \ldots $
darstellen.
Anschaulich bedeutet dies, daß ihr Spektrum aus diskreten Linien
besteht.
Dagegen besitzt eine unperiodische Zeitfunktion ein
kontinuierliches Spektrum.

Sei nun $s(t)$ eine unperiodische Zeitfunktion, so kann
man sich daraus eine periodische Funktion $g(t)$ erzeugen, indem
man einen Zeitabschnitt $-\tau/2 \leq t \leq +\tau/2$ von
$s(t)$ herausschneidet und außerhalb dieses Intervalls periodisch fortsetzt.
Innerhalb des Intervalls gilt:
%
\begin{equation}
g(t) = f (t), \qquad -\tau/2 \leq t \leq +\tau/2
\end{equation}
%
Die konstruierte Funktion läßt sich als Fourierreihe
darstellen mit:
%
\begin{equation}
g(t) = A_0 + \sum \limits_{n=1}^{\infty}
\big[
S_n \sin (n \omega_0 t) +
C_n \cos (n \omega_0 t)
\big]
\end{equation}
%
Die Periodendauer von $g(t)$ ist die Intervallbreite $\tau = 2\pi/\omega_0$.
Um eine Fourierdarstellung von der unperiodischen Zeitfunktion $s(t)$
zu erhalten, läßt  man $\tau \rightarrow \infty$
gehen.
Dann wird $g(t)$ zu $s(t)$ für alle $t$, 
und man erhält aus (12) die gesuchte Darstellung.

Wird die Intervallbreite $\tau$ variiert, so ändern sich auch
die im Spektrum auftretenden Frequenzen.
Zweckmäßigerweise führt man
%
\begin{equation}
\omega = n \omega_0 = 2 \pi n/\tau
\end{equation}
%
als neue Variable ein.
Zusätzlich wird der Linienabstand des diskreten Spektrums mit
%
\begin{equation}
\Delta \omega = 2 \pi/\tau
\end{equation}
%
bezeichnet.
Wird $\tau$ größer sinkt $\Delta \omega$, und
die Spektrallinien rücken immer mehr zusammen, bis
sie im Grenzübergang $\tau \rightarrow \infty$ ein
kontinuierliches Spektrum bilden.
Um diesen Grenzübergang vornehmen zu können,
wird angenommen, daß $f(t)$ für
$t \rightarrow \pm \infty$
gegen Null abfällt und das Integral
%
\begin{equation}
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
| s(t) | \, dt
\end{equation}
%
existiert beziehungsweise endlich ist.
Dann strebt mit $\tau \rightarrow \infty$ der Koeffizient
$A_0  \rightarrow 0$.
Weglassen von $A_0$ und Einsetzen der Integralausdrücke
für $S_n$ und $C_n$ in (10) liefert
%
\begin{equation}
\begin{array}{r@{}l}
g(t) = {\displaystyle \sum \limits_{[\omega]}}
\Bigg\{
&
\ff{\Delta \omega}{\pi}
\Big[
\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2}
f(t) \sin (\omega t)
\Big]
\sin (\omega t) \\
+
&
\ff{\Delta \omega}{\pi}
\Big[
\int \limits_{-\tau/2}^{\tau/2}
f(t) \cos (\omega t)
\Big]
\cos (\omega t)
\Bigg\}
\end{array}
\end{equation}
%
Mit $\tau \rightarrow \infty$ gehen die in den eckigen Klammern
geschriebenen Integrale unter Einbeziehung des Faktors $1/\pi$
über in die Spektralfunktionen
%
\begin{eqnarray}
S(\omega) &= \ff{1}{\pi}
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
f(t) \sin (\omega t) \, dt \\
\noalign{und}
C(\omega) &= \ff{1}{\pi}
\int \limits_{-\infty}^{\infty}
f(t) \cos (\omega t) \, dt 
\end{eqnarray}
%
Aus der Summe über die diskreten Frequenzen in (16)
wird für  $\tau \rightarrow \infty$ das Integral
%
\begin{equation}
s(t) = \int \limits_{0}^{\infty}
\big\{
S(\omega)  \sin (\omega t) +
C(\omega) \cos (\omega t)
\big\}
\, d \omega
\end{equation}
%
Wenn dieses Integral existiert ist es die gesuchte
Darstellung der unperiodischen Zeitfunktion $s(t)$ durch
ein sogenanntes Fourierintegral.

\vspace{0.5cm}
{\it Komplexe Fouriertranformation}

Die in Gleichung (17) bis (19) angegebenen Beziehungen
bekommen eine besonders einfache Gestalt, wenn man
die komplexe Darstellung benutzt, wie sie auch für die
Fourierreihe eingeführt wurde.
Die Zeitfunktion lautet dann
%
\begin{equation}
s(t) = \ff{1}{2 \pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty}
A(\omega) e^{i \omega t}
\, d \omega
\end{equation}
%
und die darin auftretende komplexe Spektralfunktion $A(\omega)$
ist gegeben durch
%
\begin{equation}
A(\omega) = \int \limits_{-\infty}^{\infty}
f(t) e^{-i \omega t}
\, d t
\end{equation}
%
Die Funktion $A(\omega)$ wird üblicherweise als
Fouriertransformierte von $s(t)$ bezeichnet.

\vspace{0.5cm}
{\it Referenzen}

Die Darstellung wurde frei nach
den Abschnitten 1.3.1 und 1.4.1
des Buches ``Schwingungslehre'' von
E.\ Meyer und D.\ Guicking verfaßt.

\end{multicols}
\end{document}

% --- FIN ---