Ersatzquellenmethode zur Berechnung
der Streuung an einer Kugel

Beschreibung:

Es wird die Streuung einer ebenen Welle an einer Kugel mit Hilfe einer Ersatzquellenmethode berechnet. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird angenommen, dass sich die ebene Welle in x1-Richtung ausbreitet. Die Ersatzquellen sind im Inneren der Kugel entlang der x1-Achse angeordnet. Die Testpunkte sind entlang eines Kreisbogens auf der Kugeloberfläche plaziert. Die Anordnung ist in Bild 1 zu sehen. Wegen der Axialsymmetrie des Problems sind die Testpunkte auf einem Kreisbogen repräsentativ für die gesamte Kugeloberfläche.

Es wird ein Beispiel gezeigt, in dem die Anzahl der Quell- und Testpunkte gleich ist. Sie beträgt 201. Das entstehende Gleichungsystem wird mit Hilfe einer Singulärwertzerlegung gelöst, obwohl eine quadratische Matrix vorliegt. Da die Kondition der entstehenden Matrix relativ groß ist, ist dieser Weg robuster. Die Wellenlaenge beträgt in dem vorgestellten Beispiel 0.588 mal den Kugelradius. Der Durchmesser der Kugel ist also mehr als drei mal groeßer als die Wellenlänge. Die ungestörte ebene Welle ist in Bild 3 dargestellt. Es ist dabei der Realteil des Feldes phi mit den in Bild 2 gezeigten Farben kodiert. Die ebene Welle in Bild 3 stellt die erste Teillösung (phi_e) des Problems dar. Diese Teillösung verletzt die Randbedingung an der Kugeloberfläche. Die Randbedingung fordert, dass die Ableitung der Lösung in Normalenrichtung verschwindet.

In Bild 4 ist die zweite Teillösung (phi_r) gezeigt. Sie ist das Feld der Ersatzquellen ohne die einfallende ebene Welle. Schließlich ist in Bild 5 die Gesamtlösung als Überlagerung der beiden Teillösungen zu sehen. Die Gesamtlösung (phi_ges = phi_e + phi_r) erfüllt die Randbedingung an der Kugeloberfläche. Die Ableitung (d phi_ges)/(d n) an der Oberfläche verschwindet jetzt.

Bilder:

Test- und Quellpunkte
Bild 1: Test- und Quellpunkte

Farbbalken
Bild 2: Farben

Nur ebene Welle
Bild 3: Einfallende ebene Welle ohne Reflexion an der Kugel (phi_e)

Nur Feld der Ersatzquellen in der Kugel
Bild 4: Feld der im Zylinder sitzenden Ersatzquellen (phi_r)

Komplette Loesung
Bild 5: Komplette Loesung als Ueberlagerung beider Anteile (phi_ges)

Animationen:

Programme:

1.) kugel04.m
Octave-Programm zur Berechnung der Quellstärken. Dieses Program erzeugt eine Datei 'loesung_k4.data'. Sie enthält die Quellpositionen, die berechnete Quellstärke und die Wellenzahl. Es werden noch zwei weitere Dateien 'testpunkte.dat' und 'quellpunkte.dat' mit den Koordinaten der Quell-und Testpunkte erzeugt.
2.) feld.m.
Octave-Programm zur Berechnung der Lösung im Feld aus den Quellstärken. Dieses Program liest die Datei 'loesung_k4.data' ein. Es erzeugt eine Datei 'feld.data' mit den Werten der beiden Teillösungen und der Gesamtlösung.

Die beiden Programme wurden mit GNU-Octave getestet. Sie sollten aber auch mit kleinen Änderungen unter Matlab laufen. Die internen Funktionen, die bei Octave möglich sind, sollten dabei in externe Funktionen umgewandelt werden. Für die Richtigkeit der Programme wird keine Gewähr übernommen. Das Verwender der Programme geschieht auf eigene Gefahr.


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